ベールのカテゴリー定理は完備距離空間の「大きさ」に関する定理で、関数解析の基本定理（一様有界性原理、開写像定理、閉グラフ定理）の...
閉グラフ定理はバナッハ空間上の線型作用素の有界性を判定する強力な道具である。作用素の連続性を直接示すのが難しい場合でも、グラフの...
バナッハ空間は関数解析において中心的な役割を果たす空間である。直感的には「ノルムが定義されていて、コーシー列が必ず収束する」ベク...
距離空間では連続性を点列の収束で特徴づけられるが、一般の位相空間ではこの対応が崩れる。点列による特徴づけが可能な空間には第一可算...
位相空間の族から新しい位相空間を構成する基本的な方法として、直積と直和がある。両者は圏論的に双対の関係にあり、それぞれ積と余積に...
距離空間 $(X, d)$ が**完備**であるとは、$X$ 内の任意の Cauchy 列が $X$ の点に収束することをいう。...
距離空間においては点列コンパクトとコンパクトは同値だが、一般の位相空間では異なる概念である。 定義 位相空間 $X$ が*...
コーシー・リーマンの方程式は次の 2 つの式からなります。 \[ \frac{\partial u}{\partial x} ...
解析接続の具体的な実行手段として、べき級数展開は重要な方法である。正則関数は局所的にべき級数で表現でき、この性質を利用して定義域...
解析接続（analytic continuation）は、ある領域で定義された正則関数を、より広い領域へ拡張する手続きのこと。 ...
ガンマ関数は階乗の一般化として定義される特殊関数で、数学や物理学の多くの分野で登場する。階乗が非負整数にのみ定義されるのに対し、...
体 $K$ の拡大体 $L$ が与えられたとき、$L$ の元 $\alpha$ が $K$ 上代数的であるとは、ある $K$ 係...
テンソルの直積（tensor product）は、2つのテンソルから新しいテンソルを構成する演算です。記号 $\otimes$ ...
アフィン空間は、ベクトル空間から「原点」の概念だけを取り除いた構造です。アフィン接続は、そのアフィン空間や一般の多様体上で、向き...
点列の極限が一意であることとハウスドルフであることは、一般には必要十分ではありません。ハウスドルフ空間では点列の極限は一意ですが...
ハウスドルフ空間では、収束する点列の極限が一意に定まります。つまり、ある点列が2つの異なる点に収束することはありません。この性質...
最も単純なハウスドルフでない空間の例は、密着位相（indiscrete topology）を持つ空間です。 集合 $X = \...
ハウスドルフ空間（Hausdorff space）は、位相空間論における重要な分離公理の一つです。異なる 2 点を互いに交わらな...
固有値の重複度には、代数的重複度と幾何的重複度の 2 種類があります。この 2 つは固有値がどれだけ「重なっている」のかを異なる...
行列 $A$ に対して、ある固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトル全体と零ベクトルを合わせた集合を固有空間（eige...
エルミート行列（Hermitian matrix）は、複素数を成分とする正方行列のうち、自分自身の共役転置に等しい行列です。つま...
共役転置（随伴行列）は $A^*$ や $A^\dagger$ で表され、行列 $A$ の転置をとってから各成分の複素共役をとっ...
行列のランクとは、行列が持つ独立な行（または列）の最大個数です。ランクは行列の本質的な次元を表す重要な概念で、連立方程式の解の存...
$n$ 次正方行列 $A$ が対角化可能であるとは、ある正則行列 $P$ が存在して \[ P^{-1}AP = D \] ...
